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《Finite Element Analysis of Rotating Beams: Physics Based Interpolation》
旋转梁的有限元分析：基于物理的插值
作者：
Ranjan Ganguli
Department of Aerospace Engineering
Indian Institute of Science
出版社：Springer
出版时间：2017年
《Finite Element Analysis of Rotating Beams: Physics Based Interpolation》
《Finite Element Analysis of Rotating Beams: Physics Based Interpolation》
《Finite Element Analysis of Rotating Beams: Physics Based Interpolation》
《Finite Element Analysis of Rotating Beams: Physics Based Interpolation》
目录
1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Elastic Blade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Horizontal Force Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Initial Conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Cantilever Beam Vibrations (Non-rotating) . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.6 Beam Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Rotating Beam Vibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Galerkin Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Rayleigh–Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1 Element Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 Energy Expressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.3 Assembly of Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.4 Cantilever . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Stiff String Basis Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1 Stiff String Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Stiff String Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Uniform Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Tapered Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Hybrid Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6 Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.1 Uniform Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.7 Tapered Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Rational Interpolation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1 Governing Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Hermite Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 New Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4 Static Finite Element Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Dynamic Finite Element Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.1 Uniform Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.2 Tapered Rotating Beam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Fourier-p Superelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Governing Equation of Rotating Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Superelement Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Numerical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.1 Uniform Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.2 Tapered Rotating Beam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Physics Based Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Basis Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2 Finite Element Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Numerical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1 Uniform Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2 Tapered Beam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.3 Beams with Hub Offset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Collocation Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1 Governing Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Point Collocation Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2.1 Collocation Point at a Variable Location
Within Beam Element. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2.2 Collocation Point Near the Left Node
of Beam Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3 Collocation Point at the Midpoint of Beam Element. . . . . . 150
6.2.4 Collocation Point Near the Right Node
of Beam Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.5 Two Point Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2.6 Analysis of Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Finite Element Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.4 Numerical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.1 Uniform Rotating Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Tapered Rotating Beam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7 Rotor Blade Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1 Energy Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Governing Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.3 Derivation of the Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.3.1 Shape Functions for Flapwise Bending . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3.2 Shape Functions for Lead-Lag Bending . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3.3 Shape Functions for Axial Deflection . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3.4 Shape Functions for Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Numerical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.1 Analysis of Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.2 Validation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.6 Convergence Study of New FEM Element and Polynomials . . . . . 194
7.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Appendix 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8 Spectral Finite Element Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.1 Governing Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2 Spectral Finite Element Formulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2.1 Interpolating Function for SFER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2.2 Interpolating Function for SFEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2.3 Dynamic Stiffness Matrix in Frequency Domain. . . . . . . . . 209
8.3 Free Vibration Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.3.1 Uniform Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.3.2 Tapered Beam 1-Linear Mass and Cubic Flexural
Stiffness Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3.3 Tapered Beam 2-Linear Mass and Flexural Stiffness
Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4 Wave Propagation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4.1 Convergence Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9 Violin String Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.1 Timoshenko Rotating Beam and Violin String . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2 Violin String Shape Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.3 Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.3.1 Uniform Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.3.2 Tapered Beam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Appendix A: Stiffness Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Appendix B: MATLAB Code. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Appendix C: Governing Equation for Rotating Timoshenko Beam . . . . 279
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