《Optimal Control in Thermal Engineering》

请叫我雷锋

《Optimal Control in Thermal Engineering》
热工优化控制
作者：
Viorel Badescu
Candida Oancea Institute
Polytechnic University of Bucharest
出版社：Springer
出版时间：2017年

《Optimal Control in Thermal Engineering》

《Optimal Control in Thermal Engineering》

《Optimal Control in Thermal Engineering》

《Optimal Control in Thermal Engineering》

目录
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Control of Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Optimization Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Part I Introductory Elements
2 Functions Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Conditions of Extreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Real Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Functions of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Functions with Arbitrary Finite Number
of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Elements of Variational Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Short History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Preliminary Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Necessary Conditions for Extremization
of Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Dual Methods in Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Euler Extremization Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 The Basic Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 The Statement and Proof of the Fundamental
Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 The Euler-Lagrange Equation for Other Cases of Practical
Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.1 Integrands Depending on Several Functions . . . . . . . . . 35
3.5.2 Integrands Containing Higher Order Derivatives. . . . . . 38
3.5.3 Integrands Depending on Several Independent
Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Analytical Solutions of Euler-Lagrange Equations . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 The Case When F ¼ Fðx; u0Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 The Case When F ¼ F u; uð 0Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.3 The Case When F x; y; yð 0Þ Is Total Derivative . . . . . . . 45
3.7 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Natural Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.2 Transversality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Extremals and Isoextreme Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8.1 Another Interpretation of the Transversality
Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8.2 The Regularity Assumption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8.3 Obtaining Extremals from Isoextreme
and Vice Versa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.5 Corner Conditions (Erdmann-Weierstrass) . . . . . . . . . . 56
3.9 Variational Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10 Constrained Extremization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Isoperimetric Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11.1 Extreme with More Constraints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11.2 The Case of Multiple Dependent Variables. . . . . . . . . . 72
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Part II Theory
4 Generalities Concerning the Optimal Control Problems . . . . . . . . . 77
4.1 Variational Problems with Differential Equations
as Constraints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Generalization of Some Notions of Variational
Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Differential Equations Acting as Constraints.
Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Problems of Type Lagrange, Mayer and Bolza . . . . . . . 82
4.2 Solving Optimal Control Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Constraints on the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 The Principle of Optimality for Parts
of the Optimal Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3 Direct and Indirect Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 The Maximum Principle (Pontryagin). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 The Fundamental Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Comments on the Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1 Strategies of Using the Necessary Conditions . . . . . . . . 95
5.3.2 The Case of Non-autonomous Systems. . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Functionals Depending on Parameters. . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Other Useful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.1 Non-autonomous Systems: Processes with
Unspecified Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.2 Non-autonomous Systems: Optimal Rapid Reaction . . . 100
5.4.3 Processes with Specified Duration. . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Linear Rapid Reaction Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 The Synthesis Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 The Gradient Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Common Extreme Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Unconstrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 Simple Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Optimal Control Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1 The Fundamental Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2 Process with Specified Duration but Without
Final Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.3 Process with Specified Duration and One Final
Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.4 Process with Unspecified Duration and Without
Final Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4 Constraints for the Control Functions and State Variables . . . . . 128
6.4.1 Constraints for the Control Functions . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.2 Constraints for the State Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5 General Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Dynamic Programming (Bellman Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1 Common Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.1 The Grid Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.2 The Bellman Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2 Problems of Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Contents ix
7.3 Optimal Control Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1 Extension of the Variational Calculus Method . . . . . . . 146
7.3.2 Bellman Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4 Linear Processes and Quadratic Objective Functions . . . . . . . . . 153
7.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Part III Applications: Heat Transfer and Storage
8 Heat Transfer Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1 Optimal Strategies for Common Heat Transfer Processes. . . . . . 161
8.1.1 Determination of Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.2 The Case When the Value of n Is Arbitrary . . . . . . . . . 163
8.1.3 The Case When n = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.4 The Case When n = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.5 The Case When n = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.6 The Case of Entropy Generation at Constant Speed . . . 168
8.2 Optimal Paths for Minimizing Lost Available Work . . . . . . . . . 168
8.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Appendix 8A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Appendix 8B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9 Heat Exchangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1 Simple Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1.1 Usual and Optimized Operation Strategies . . . . . . . . . . 190
9.2 Optimal Strategies for Steady State Heat Exchanger
Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.2 Optimal Heating/Cooling Strategies . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2.3 Optimization of Heat Exchanger Operation Based
on Minimum Entropy Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.4 Optimization of Steady-State Heat Exchanger
Operation for Arbitrary Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10 Storage of Thermal Energy and Exergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.1 Unsteady Operation of Storage Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.2 The Exergy Loss During the Storage Process . . . . . . . . . . . . . . 207
10.3 Thermal Energy Storage in Stratified and Fully Mixed
Water Tanks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3.2 Stratified Liquid Storage Tanks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3.3 Fully Mixed Liquid Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Appendix 10A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Appendix 10B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11 Heating and Cooling Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1 Optimization of Heating and Cooling Processes
by Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1.1 Cooling Process Without Time Limitation . . . . . . . . . . 231
11.1.2 Cooling Process in Limited Time . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.2 Optimal Control of Forced Cool-Down Processes . . . . . . . . . . . 235
11.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.2.2 Forced Cooling Processes with Minimization
of Cooling Fluid Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.2.3 Forced Cooling Processes with Minimization
of Dissipation Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12 Optimization of Thermal Insulation of Seasonal Water
Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.1 Optimization of the Distribution of Thermal Insulation . . . . . . . 247
12.2 Optimization of the Total Volume of Thermal Insulation. . . . . . 253
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13 Optimization of Pin Fin Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
13.1 Optimal Control Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.1.1 Methodology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.1.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Appendix 13A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Part IV Applications: Solar Energy Conversion into Thermal
Energy Part
14 Optimization of Solar Energy Collection Systems . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1 General Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.1 Determination of the Optimal Solution . . . . . . . . . . . . . 286
14.1.2 Collectors with Uniform Properties. . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.1.3 Collectors with Non-uniform Properties . . . . . . . . . . . . 292
14.1.4 Example and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2 More Involved Treatment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.2.3 Solar Energy Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.2.4 Economical Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.2.5 Meteorological and Actinometric Data . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.7 Solar Collectors with Optimal Uniformly
Distributed Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.2.8 Solar Collectors with Optimal Non-uniformly
Distributed Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.2.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15 Flat-Plate Solar Collectors. Optimization of Absorber
Geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.1 Optimization of Absorber Geometry by Using Economic
Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.1.1 Absorber Plate of Uniform Thickness . . . . . . . . . . . . . . 318
15.1.2 Absorber Plate of Variable Thickness . . . . . . . . . . . . . . 321
15.1.3 The Optimal Fin Width. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
15.1.4 Discussion and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2 More Realistic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2.2 Meteorological Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.2.3 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.2.4 Uniform Fin Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.2.5 Variable Fin Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
15.2.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Appendix 15A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Appendix 15B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
16 Optimal Time-Dependent Operation of Open Loop Solar
Collector Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
16.1 Simple Variational Approach for Maximum Exergy
Extraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
16.1.1 Model of Flat Plate Solar Collector Operation . . . . . . . 350
16.1.2 Optimal Strategy for Maximizing the Collected
Exergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
16.2 Optimal Control of Flow for Maximum Exergy Extraction . . . . 354
16.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
16.2.2 Meteorological Database . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
16.2.3 Transient Solar Energy Collection Model . . . . . . . . . . . 355
16.2.4 Optimum Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
16.2.5 Optimum Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
16.2.6 Aspects of Controller Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
16.2.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
17 Optimal Time-Dependent Operation of Closed Loop
Solar Collector Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.1 Classification and Simple Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.1.1 Performance Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
17.1.2 Systems with Storage at Uniform Temperature . . . . . . . 375
17.1.3 Systems with Stratified Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . 378
17.1.4 Comparison and Discussions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
17.2 More Realistic Approach for Systems with Fully Mixed
Water Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.2 Closed Loop System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.3 Flow Controllers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
17.2.4 Operation Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
17.2.5 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
17.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
17.2.7 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17.2.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Appendix 17A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Appendix 17B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Appendix 17C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
18 Optimal Flow Controllers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
18.1 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
18.2 Implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
18.3 Comparison and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Part V Applications: Heat Engines
19 Endoreversible Heat Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.1 Endoreversible Heat Engine Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.2 Implementation of the Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . 425
19.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
19.2.2 Formulation of the Optimal Control Problem . . . . . . . . 426
19.2.3 Application of the Maximum Pontryagin Principle . . . . 427
19.2.4 Properties of the Solutions of Optimal Control
Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
19.3 Optimal Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
19.3.1 Maximum Power. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
19.3.2 Maximum Efficiency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
19.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
20 Diesel Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1 Engine Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1.1 Fuel Combustion at Finite Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1.2 Modeling of Losses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
20.1.3 Conventional Piston Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
20.2 Optimization Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
20.2.1 Steps (1)–(3). Processes When Power
Is not Generated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
20.2.2 Stage (4). Allocation of Time Durations
for Processes When Power Is not Generated. . . . . . . . . 452
20.2.3 (5) Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
20.2.4 (6) Maximizing the Net Mechanical Work . . . . . . . . . . 457
20.3 Optimal Trajectories and Controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
20.3.1 Heat Engine Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
20.3.2 Optimized Engine Operation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
21 Optimization of Daniel Cam Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
21.2 Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
21.2.1 Daniel Cam Engine Representation. . . . . . . . . . . . . . . . 468
21.2.2 Mechanical and Thermal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
21.2.3 Dimensionless Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
21.2.4 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
21.2.5 Numerical Procedure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
21.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
21.3 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
21.3.1 Present Model Versus Simpler Approaches. . . . . . . . . . 478
21.3.2 Optimal Solution. Dependence on Design
and Operation Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
21.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Appendix 21A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Appendix 21B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Appendix 21C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
22 Photochemical Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.1 Engine Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.2 Engine Operation Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
22.3 Optimal Trajectories of the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
22.3.1 Maximizing the Work Produced . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
22.3.2 Minimizing the Entropy Production . . . . . . . . . . . . . . . 522
22.4 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Part VI Applications: Lubrication
23 Optimization of One Dimensional Slider Bearings . . . . . . . . . . . . . . 529
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
23.2 Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
23.3 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
23.4 Optimum Design and Operation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
23.4.1 Direct Optimal Control Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
23.4.2 Constraints and Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
23.4.3 Design Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
23.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Appendix 23A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583


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