《Variational Analysis and Aerospace Engineering》

请叫我雷锋

《Variational Analysis and Aerospace Engineering》
变分分析与航空航天工程
编者：
GIUSEPPE BUTTAZZO
University of Pisa, Italy
ALDO FREDIANI
University of Pisa, Italy
出版社：Springer
出版时间：2009年

《Variational Analysis and Aerospace Engineering》

《Variational Analysis and Aerospace Engineering》

《Variational Analysis and Aerospace Engineering》

《Variational Analysis and Aerospace Engineering》

目录
1 Algorithm Issues and Challenges Associated with the Development
of Robust CFD Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Steven R. Allmaras, John E. Bussoletti, Craig L. Hilmes, Forrester T.
Johnson, Robin G. Melvin, Edward N. Tinoco, Venkat Venkatakrishnan,
Laurence B. Wigton and David P. Young
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algorithm Issues Related to the Solution of the Navier–Stokes
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Grid Adaption and Error Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Discretization Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Higher Order Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Domain Decomposition and Linear Solver . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Flight Path Optimization at Constant Altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Mark D. Ardema and Bryan C. Asuncion
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Singular Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 The Cruise Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Fanjet Specific Fuel Consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 An Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Conclusions and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 A Survey on the Newton Problem of Optimal Profiles . . . . . . . . . . . . . 33
Giuseppe Buttazzo
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Radially Symmetric Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 The Existence Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
xi
xii Contents
4 Innovative Rotor Blade Design Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Vittorio Caramaschi and Claudio Monteggia
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Helicopter’s Aeromechanics Outlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Helicopter’s Rotor Mathematical Model Features
and Aeromechanics Codes Worldwide Status . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 AW Aeromechanics Code GYROX II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.1 General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.2 Rotor Hub Modelling Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 Pylon Modelling Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.4 Rotor Blade Structural Modelling Features . . . . . . . . . . . . 62
4.4.5 Rotor Aerodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.6 Solution Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.7 Operational Main Features and Output Data . . . . . . . . . . . 67
4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.1 Short Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.2 Long Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Fields of Extremals and Sufficient Conditions for the Simplest
Problem of the Calculus of Variations in n-Variables . . . . . . . . . . . . . 75
Dean A. Carlson and George Leitmann
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Notations and the Problem Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Leitmann’s Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Fields of Extremals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Sufficient Conditions for Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 A Framework for Aerodynamic Shape Optimization . . . . . . . . . . . . . 91
Giampiero Carpentieri and Michel J.L. van Tooren
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Adjoint-Based Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Optimization Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 Flow Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.2 Adjoint Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.3 Shape Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.4 Geometric Sensitivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.5 Optimization Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Optimization Test Cases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.1 RAE2822 at M∞ = 0.73 and α = 2◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.2 NACA64A410 at M∞ = 0.75 and α = 0◦ . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.3 NACA0012 at M∞ = 1.5 and α = 2◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.4 ONERA-M6 wing at M∞ = 0.84 and α = 3.06◦ . . . . . . . . 103
Contents xiii
6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Optimal Motions of Multibody Systems in Resistive Media . . . . . . . . 107
Felix L. Chernousko
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Basic Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Linear Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 RelativeMotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5 Piecewise Linear Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.6 Quadratic Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.7 Dry Friction: Velocity-ControlMotion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.8 Dry Friction: Acceleration-Control Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.10 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.11 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 Instationary Heat-Constrained Trajectory Optimization of a
Hypersonic Space Vehicle by ODE–PDE-Constrained Optimal
Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Kurt Chudej, Hans Josef Pesch, Markus W¨achter, Gottfried Sachs
and Florent Le Bras
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2 Trajectory Optimization Problems with Active Cooling. . . . . . . . . . 130
8.3 Trajectory Optimization Problem with an Instationary
Heat Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9 Variational Approaches to Fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Gianpietro Del Piero
9.1 Fracture as aMinimum Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 The Numerical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 Energy Barriers and Local Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.4 Barenblatt’s Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5 Two Solution Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.6 The Dissipative Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.7 From Surface to Bulk Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 On the Problem of Synchronization of Identical Dynamical
Systems: The Huygens’s Clocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Rui Dil˜ao
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2 A Model for the Synchronization of the Two Pendulum Clocks . . . 166
xiv Contents
10.3 A Simple Clock Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.4 Synchronization of Two Pendulum Clocks with Equal Parameters . 169
10.5 Synchronization of Two Pendulum Clocks with Different
Parameters: Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11 Best Wing System: An Exact Solution of the Prandtl’s Problem . . . . 183
Aldo Frediani and Guido Montanari
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2 The Induced Drag for Lifting Multiwing Systems . . . . . . . . . . . . . . 184
11.3 The Problem of Minimum Induced Drag in a Box Wing . . . . . . . . . 187
11.3.1 Case A: Elliptical Circulations on the Horizontal Wings
and Zero on the Vertical Ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.3.2 Case B: Constant Circulations on the Horizontal Wings
and Unknown on the Vertical Ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.3.3 Final Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.4 The Optimum Lift Distribution Along the VerticalWings . . . . . . . . 196
11.5 Results and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12 Numerical Simulation of the Dynamics of Boats by a Variational
Inequality Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Luca Formaggia, Edie Miglio, Andrea Mola and Anna Scotti
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.2 A Variational Approach to the Floating Body Problem . . . . . . . . . . 214
12.2.1 Characteristic Treatment of the Time Derivative . . . . . . . . 218
12.2.2 Enforcing the Constraint in the Hydrostatic Step. . . . . . . . 219
12.2.3 The Model for the Dynamics of a Rowing Scull . . . . . . . . 220
12.2.4 More Realistic Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.3 The Interaction Between the Boat and theWater . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.4 Numerical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.4.1 Sinking and PitchingMotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.4.2 Reproducing Mean Motion Wave Pattern . . . . . . . . . . . . . . 225
12.4.3 An Example with the Full Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.4.4 A Final Detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13 Concepts of Active Noise Reduction Employed in High Noise Level
Aircraft Cockpits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Hatem Foudhaili and Eduard Reithmeier
13.1 Passive Versus Active Noise Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.2 Active Noise Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.3 Active Structural/Acoustic Control (ASAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.4 Active Aviation Headsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Contents xv
13.5 An Aviation Communication Headset Prototype with Digital
Adaptive Noise Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14 Lekhnitskii’s Formalism for Stress Concentrations
Around Irregularities in Anisotropic Plates: Solutions
for Arbitrary Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Sotiris Koussios and Adriaan Beukers
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.2 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
14.3 General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.4 Stress, Strain, and Displacements Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.5 Formulation of Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.5.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.5.2 Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
14.6 Solution Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
14.6.1 Series Representation of the Boundary Conditions . . . . . . 250
14.6.2 Transformation into a Single Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.7 Boundary Conditions Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.7.1 Homogeneous Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.7.2 Logarithmic Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.7.3 Disturbance Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
14.8 Evaluation of Stresses and Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.9 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
14.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15 Best Initial Conditions for the Rendezvous Maneuver . . . . . . . . . . . . . 267
Angelo Miele and Marco Ciarci`a
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
15.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
15.3 System Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
15.3.1 Multiple-Subarc Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.3.2 Inequality Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
15.3.3 Particular Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
15.3.4 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
15.3.5 Performance Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
15.3.6 Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
15.4 Minimum Fuel, Time Free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
15.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
15.6 Minimum Fuel, Time Given . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
15.6.1 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
15.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
xvi Contents
16 Commercial Aircraft Design for Reduced
Noise and Environmental Impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
S. Mistry, Howard Smith, and John P. Fielding
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
16.2 Simple Emission Trade-Off Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
16.2.1 Global Warming Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
16.2.2 Noise Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
16.2.3 Local Air Quality Cost (LAQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
16.2.4 Annual Fuel Costs Fro Baseline Aircraft . . . . . . . . . . . . . . 294
16.2.5 Baseline Aircraft Environmental Costs . . . . . . . . . . . . . . . . 294
16.2.6 Summary of Trade-Offs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
16.3 Aircraft Designs for Reduced Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
16.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
16.3.2 Baseline Aircraft Design and Noise Prediction . . . . . . . . . 296
16.3.3 Low Airframe Noise Design Methodology . . . . . . . . . . . . 297
16.3.4 Low-Noise Aircraft Concept Brainstorming Process . . . . 297
16.3.5 Broad Delta Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
16.3.6 Airframe Approach Noise Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
16.3.7 Performance Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.4 The Cranfield A-6 Greenliner Project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
16.4.1 Group Design Project Activities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
16.4.2 Greenliner Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
16.4.3 Predicted Performance for the Greenliner . . . . . . . . . . . . . 309
16.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
17 Variational Approach to the Problem of the Minimum Induced
Drag of Wings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Maria Teresa Panaro, Aldo Frediani, Franco Giannessi and Emanuele
Rizzo
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.2 Finite Span Wings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.3 Problem of Minimum Induced Drag of a Straight Wing:
An optimality condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
17.4 Duality: A New Approach to the Design of Wings . . . . . . . . . . . . . . 319
17.5 Direct Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
17.5.1 Elliptic Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
17.5.2 RitzMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
18 Plastic Hinges in a Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Danilo Percivale and Franco Tomarelli
18.1 Elastic–Plastic Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
18.2 Skew-Symmetric Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Contents xvii
19 Problems of Minimal and Maximal Aerodynamic Resistance . . . . . . 349
Alexander Plakhov
19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.2 Translational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.3 Translational Motion with Rotation: Two-Dimensional Case . . . . . 355
19.3.1 Definition of Rough Body and Main Theorems . . . . . . . . . 355
19.3.2 Problems of Minimal and Maximal Resistance
for a Slowly Rotating Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
19.3.3 Mathematical Retroreflector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
19.3.4 Effect of Magnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
20 Shock Optimization for Airfoil Design Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Olivier Pironneau
20.1 Numerical Optimal Shape Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.1.1 An Academic Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.1.2 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
20.1.3 Conceptual Algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
20.2 Automatic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
20.2.1 Principle of Automatic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . 370
20.2.2 Example of Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
20.3 Differentiability Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
20.3.1 Extended Calculus of Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
20.3.2 Sensitivity Analysis for Burgers’ Equation . . . . . . . . . . . . 373
20.3.3 Application to Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
20.3.4 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
20.3.5 Right and Wrong Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
20.4 Small Disturbances and Automatic Differentiations . . . . . . . . . . . . . 376
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
21 Differential Games Treated by a Gradient-Restoration Approach . . . 379
Mauro Pontani
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
21.2 Zero-Sum Differential Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
21.3 Numerical Solution of Two-Sided Optimization Problems . . . . . . . 382
21.3.1 Transformation into Single-Objective Problem . . . . . . . . . 382
21.3.2 Sequential Gradient-Restoration Algorithm . . . . . . . . . . . . 384
21.4 Homicidal Chauffeur Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
21.4.1 Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
21.4.2 Method of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
21.4.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
21.5 Orbital Pursuit-Evasion Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
21.5.1 Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
21.5.2 Method of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
21.5.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
21.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
xviii Contents
22 Interval Methods for Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Andreas Rauh and Eberhard P. Hofer
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
22.2 Optimal and Robust Control of Dynamical Systems. . . . . . . . . . . . . 399
22.2.1 Optimal Control of Discrete- and Continuous-Time
Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
22.2.2 Specification of Robustness in the Time Domain . . . . . . . 401
22.2.3 Optimality Criteria for Systems with Uncertainties . . . . . . 402
22.3 Interval Arithmetic Optimization Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
22.4 Parallelization of the Optimization Algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
22.5 Combination with Classical Controller Design . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
22.6 Validated Modeling and Simulation of Dynamical Systems with
State-Dependent Switchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
22.7 Optimization Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
22.7.1 Interval Algorithm for Structure Optimization. . . . . . . . . . 410
22.7.2 Linear State Controller for Improvement of Robustness . . 413
22.7.3 Interval Algorithm for Parameter Optimization . . . . . . . . . 415
22.8 Conclusions and Outlook on Future Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
23 Application of Optimisation Algorithms to Aircraft Aerodynamics . 419
Emanuele Rizzo and Aldo Frediani
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
23.2 An Algorithm for the Search of Global Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 424
23.3 Test Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
23.3.1 Test Case 1 (Unconstrained): Ackley’s Function . . . . . . . . 428
23.3.2 Test Case 2 (Unconstrained): Rastrigin’s Function . . . . . . 431
23.3.3 Test Case 3 (Unconstrained): Rosenbrock’s Function . . . . 431
23.3.4 Test Case 4 (Unconstrained): Schwefel’s Function . . . . . . 432
23.4 The AEROSTATE Program: An Application to Aeronautics . . . . . . 434
23.4.1 Minimum Induced Drag of a Wing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
23.4.2 Minimum Total Drag of aWing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
23.4.3 The Trimmed Aircraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
23.4.4 The PrandtlPlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
23.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
24 Different levels of Optimisation in Aircraft Design . . . . . . . . . . . . . . . 447
Dieter Schmitt
24.1 Air Transport System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
24.2 Industrial Process of Aircraft Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
24.3 Different Levels of Aircraft Design vs. Development Phases . . . . . 452
24.4 Tools Used in Different Phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
24.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Contents xix
25 Numerical and Analytical Methods for Global Optimization . . . . . . . 461
Paolo Teofilatto and Mauro Pontani
25.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
25.2 Green’s Theorem Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
25.3 Morse Theory Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
25.4 Final Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
26 The Aeroservoelasticity Qualification Process in Alenia . . . . . . . . . . . 477
Vincenzo Vaccaro
26.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
26.2 Company Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
26.3 What Is Aeroelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
26.4 Aeroelastic Tradition in Alenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
26.5 Aeroservoelastic Certification Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
26.5.1 Analytical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
26.5.2 Theoretical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
26.5.3 Ground Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
26.5.4 Flight Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
26.5.5 Research and Future Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
27 Further Steps Towards Quantitative Conceptual Aircraft Design . . . 491
Michel van Tooren, Gianfranco La Rocca and Teodor Chiciudean
27.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
27.2 The Systems Engineering Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
27.3 Requirements on Computational Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
27.4 The Design and Engineering Engine Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
27.4.1 Describing Design Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
27.4.2 The Initiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
27.4.3 The Multi-model Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
27.4.4 The Life-Cycle Analysis with Expert Tools . . . . . . . . . . . . 504
27.4.5 The Converger/Evaluator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
27.4.6 The Agent-Based Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
27.5 Results and Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
27.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
28 Some Plebeian Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Piero Villaggio
28.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
28.2 Mechanical Plebeian Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
28.3 Locomotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
28.4 Peeling and Cooking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
28.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518


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