梅森素数：数论中的钻石

fengzhi2008

众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^p-1”(其中指数p也是素数)的形式。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究；而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将2^p-1型的素数称为“梅森素数”(Mersenne Primes)。迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。这种素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。由于梅森素数珍奇而迷人，它被人们誉为“数论中的钻石”。

貌似简单探究极难
梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数2^11213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。
随着指数p值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家大卫史洛温斯基和哈里纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登诺尔就已经给出了同样结果。为此他们更加发奋努力，花了一个半月的时间，使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数2^44497-1；该数有13395位，是当时已知的最大素数。这件事成了当时不少主流媒体的头条新闻。后来史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数，因而被人们称为“素数大王”。
大胆猜测重大发现
人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都以近似表达式给出，而且与实际情况的接近程度均难如人意。
中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者——他经过多年潜心研究，运用联系观察法和不完全归纳法于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式；其表达式优美、简洁，体现了数学之美。这一研究成果发表后，受到许多数学家的好评，被国际数学界称为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志有一篇文章认为这是素数研究的一项重大突破。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒塞尔伯格表示：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
由此可见，梅森素数的基础研究的前提是提出问题并大胆猜测；只有这样，才能有所发现，有所创新。正如科学巨人牛顿所言：“没有大胆的猜测就做不出伟大的发现。”周氏猜测就是一个例证。这一猜测从提出到现在已有20年的时间，目前人们需要做的就是破解这一数学难题。
网格给力金钱奖赏
网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年，美国数学家、程序设计师乔治沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。该项目采取网格计算的方式，利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家、程序设计师斯科特库尔沃斯基建立了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目去寻找新的梅森素数了。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。当然，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。
16年来，人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前，世界上有180多个国家和地区超过27万人参加了这一国际合作项目，并动用了68万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。目前该项目的运算速度达到每秒800万亿次。著名的《自然》杂志曾指出：GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。
有人走运有人倒霉
2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1，该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过50公里！该校华裔数学家、菲尔茨奖得主陶哲轩对这一成就予以高度评价，称赞史密斯创造了大素数发现史上的奇迹；世界各大主流媒体纷纷予以报道并积极评价，认为这是一项了不起的成就。另外，这项成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。
前不久，史密斯获得了EFF颁布的10万美元大奖。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该受到处罚，但鉴于他为学校争了光，因而还受到了校方的表彰。史密斯对《洛杉矶时报》记者说，“很荣幸能成为GIMPS项目的参加者和超大素数的发现者，感谢加州大学洛杉矶分校‘提供’的计算资源。”其言幽默诙谐，其人名利双收。
而另一位仁兄就没有这样的运气。10年前，美国一家电话公司的雇员麦克福雷斯特偷偷地使用公司内的2585台计算机参加GIMPS项目；随后公司发现计算机经常会出些差错，本来只需要5秒钟就可以接通的电话号码，需要5分钟才能接通。联邦调查局最终查到了原因，福雷斯特承认“被GIMPS项目引诱”；他最后被解雇，并被罚款一万美元，更倒霉的是没几天家里的新车遭到恶意破坏。他真是祸不单行。
理论意义实用价值
梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。
梅森素数的最新意义是：它促进了网格技术的发展；而网格技术是一项应用非常广阔、前景十分诱人的高新技术。另外，梅森素数还可用来测试计算机硬件运算是否正确。
由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马科斯索托伊甚至认为：梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限，其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。
最后，有必要指出的是：梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学谜题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束这篇短文：“我们必须知道，我们必将知道。”（盛来）
作者
盛来：英国牛津大学博士后研究人员