《Optimal Control in Thermal Engineering》
《Optimal Control in Thermal Engineering》热工优化控制
作者：
Viorel Badescu
Candida Oancea Institute
Polytechnic University of Bucharest
出版社：Springer
出版时间：2017年
目录
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Control of Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Optimization Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Part I Introductory Elements
2 Functions Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Conditions of Extreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Real Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Functions of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Functions with Arbitrary Finite Number
of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Elements of Variational Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Short History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Preliminary Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Necessary Conditions for Extremization
of Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Dual Methods in Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Euler Extremization Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 The Basic Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 The Statement and Proof of the Fundamental
Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 The Euler-Lagrange Equation for Other Cases of Practical
Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.1 Integrands Depending on Several Functions . . . . . . . . . 35
3.5.2 Integrands Containing Higher Order Derivatives. . . . . . 38
3.5.3 Integrands Depending on Several Independent
Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Analytical Solutions of Euler-Lagrange Equations . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 The Case When F ¼ Fðx; u0Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 The Case When F ¼ F u; uð 0Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.3 The Case When F x; y; yð 0Þ Is Total Derivative . . . . . . . 45
3.7 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Natural Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.2 Transversality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Extremals and Isoextreme Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8.1 Another Interpretation of the Transversality
Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8.2 The Regularity Assumption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8.3 Obtaining Extremals from Isoextreme
and Vice Versa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8.5 Corner Conditions (Erdmann-Weierstrass) . . . . . . . . . . 56
3.9 Variational Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10 Constrained Extremization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.11 Isoperimetric Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11.1 Extreme with More Constraints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11.2 The Case of Multiple Dependent Variables. . . . . . . . . . 72
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Part II Theory
4 Generalities Concerning the Optimal Control Problems . . . . . . . . . 77
4.1 Variational Problems with Differential Equations
as Constraints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Generalization of Some Notions of Variational
Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Differential Equations Acting as Constraints.
Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Problems of Type Lagrange, Mayer and Bolza . . . . . . . 82
4.2 Solving Optimal Control Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Constraints on the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 The Principle of Optimality for Parts
of the Optimal Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3 Direct and Indirect Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 The Maximum Principle (Pontryagin). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 The Fundamental Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Comments on the Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1 Strategies of Using the Necessary Conditions . . . . . . . . 95
5.3.2 The Case of Non-autonomous Systems. . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Functionals Depending on Parameters. . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Other Useful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.1 Non-autonomous Systems: Processes with
Unspecified Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.2 Non-autonomous Systems: Optimal Rapid Reaction . . . 100
5.4.3 Processes with Specified Duration. . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Linear Rapid Reaction Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 The Synthesis Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 The Gradient Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Common Extreme Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Unconstrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 Simple Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Optimal Control Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1 The Fundamental Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2 Process with Specified Duration but Without
Final Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.3 Process with Specified Duration and One Final
Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.4 Process with Unspecified Duration and Without
Final Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4 Constraints for the Control Functions and State Variables . . . . . 128
6.4.1 Constraints for the Control Functions . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.2 Constraints for the State Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.5 General Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Dynamic Programming (Bellman Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1 Common Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.1 The Grid Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.2 The Bellman Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2 Problems of Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Contents ix
7.3 Optimal Control Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1 Extension of the Variational Calculus Method . . . . . . . 146
7.3.2 Bellman Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4 Linear Processes and Quadratic Objective Functions . . . . . . . . . 153
7.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Part III Applications: Heat Transfer and Storage
8 Heat Transfer Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1 Optimal Strategies for Common Heat Transfer Processes. . . . . . 161
8.1.1 Determination of Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.2 The Case When the Value of n Is Arbitrary . . . . . . . . . 163
8.1.3 The Case When n = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.1.4 The Case When n = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.5 The Case When n = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.6 The Case of Entropy Generation at Constant Speed . . . 168
8.2 Optimal Paths for Minimizing Lost Available Work . . . . . . . . . 168
8.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Appendix 8A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Appendix 8B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9 Heat Exchangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1 Simple Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1.1 Usual and Optimized Operation Strategies . . . . . . . . . . 190
9.2 Optimal Strategies for Steady State Heat Exchanger
Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2.2 Optimal Heating/Cooling Strategies . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2.3 Optimization of Heat Exchanger Operation Based
on Minimum Entropy Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.4 Optimization of Steady-State Heat Exchanger
Operation for Arbitrary Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10 Storage of Thermal Energy and Exergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.1 Unsteady Operation of Storage Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.2 The Exergy Loss During the Storage Process . . . . . . . . . . . . . . 207
10.3 Thermal Energy Storage in Stratified and Fully Mixed
Water Tanks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3.2 Stratified Liquid Storage Tanks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3.3 Fully Mixed Liquid Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Appendix 10A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Appendix 10B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11 Heating and Cooling Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1 Optimization of Heating and Cooling Processes
by Variational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1.1 Cooling Process Without Time Limitation . . . . . . . . . . 231
11.1.2 Cooling Process in Limited Time . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.2 Optimal Control of Forced Cool-Down Processes . . . . . . . . . . . 235
11.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.2.2 Forced Cooling Processes with Minimization
of Cooling Fluid Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.2.3 Forced Cooling Processes with Minimization
of Dissipation Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12 Optimization of Thermal Insulation of Seasonal Water
Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.1 Optimization of the Distribution of Thermal Insulation . . . . . . . 247
12.2 Optimization of the Total Volume of Thermal Insulation. . . . . . 253
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13 Optimization of Pin Fin Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
13.1 Optimal Control Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.1.1 Methodology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.1.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
13.1.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Appendix 13A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Part IV Applications: Solar Energy Conversion into Thermal
Energy Part
14 Optimization of Solar Energy Collection Systems . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1 General Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.1 Determination of the Optimal Solution . . . . . . . . . . . . . 286
14.1.2 Collectors with Uniform Properties. . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.1.3 Collectors with Non-uniform Properties . . . . . . . . . . . . 292
14.1.4 Example and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2 More Involved Treatment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.2.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.2.3 Solar Energy Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.2.4 Economical Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.2.5 Meteorological and Actinometric Data . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.2.7 Solar Collectors with Optimal Uniformly
Distributed Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.2.8 Solar Collectors with Optimal Non-uniformly
Distributed Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.2.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15 Flat-Plate Solar Collectors. Optimization of Absorber
Geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.1 Optimization of Absorber Geometry by Using Economic
Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.1.1 Absorber Plate of Uniform Thickness . . . . . . . . . . . . . . 318
15.1.2 Absorber Plate of Variable Thickness . . . . . . . . . . . . . . 321
15.1.3 The Optimal Fin Width. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
15.1.4 Discussion and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2 More Realistic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2.2 Meteorological Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.2.3 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.2.4 Uniform Fin Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.2.5 Variable Fin Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
15.2.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Appendix 15A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Appendix 15B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
16 Optimal Time-Dependent Operation of Open Loop Solar
Collector Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
16.1 Simple Variational Approach for Maximum Exergy
Extraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
16.1.1 Model of Flat Plate Solar Collector Operation . . . . . . . 350
16.1.2 Optimal Strategy for Maximizing the Collected
Exergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
16.2 Optimal Control of Flow for Maximum Exergy Extraction . . . . 354
16.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
16.2.2 Meteorological Database . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
16.2.3 Transient Solar Energy Collection Model . . . . . . . . . . . 355
16.2.4 Optimum Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
16.2.5 Optimum Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
16.2.6 Aspects of Controller Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
16.2.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
17 Optimal Time-Dependent Operation of Closed Loop
Solar Collector Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.1 Classification and Simple Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.1.1 Performance Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
17.1.2 Systems with Storage at Uniform Temperature . . . . . . . 375
17.1.3 Systems with Stratified Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . 378
17.1.4 Comparison and Discussions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
17.2 More Realistic Approach for Systems with Fully Mixed
Water Storage Tanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.2 Closed Loop System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.2.3 Flow Controllers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
17.2.4 Operation Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
17.2.5 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
17.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
17.2.7 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
17.2.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Appendix 17A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Appendix 17B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Appendix 17C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
18 Optimal Flow Controllers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
18.1 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
18.2 Implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
18.3 Comparison and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Part V Applications: Heat Engines
19 Endoreversible Heat Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.1 Endoreversible Heat Engine Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.2 Implementation of the Optimal Control Theory . . . . . . . . . . . . . 425
19.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
19.2.2 Formulation of the Optimal Control Problem . . . . . . . . 426
19.2.3 Application of the Maximum Pontryagin Principle . . . . 427
19.2.4 Properties of the Solutions of Optimal Control
Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
19.3 Optimal Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
19.3.1 Maximum Power. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
19.3.2 Maximum Efficiency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
19.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
20 Diesel Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1 Engine Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1.1 Fuel Combustion at Finite Speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
20.1.2 Modeling of Losses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
20.1.3 Conventional Piston Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
20.2 Optimization Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
20.2.1 Steps (1)–(3). Processes When Power
Is not Generated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
20.2.2 Stage (4). Allocation of Time Durations
for Processes When Power Is not Generated. . . . . . . . . 452
20.2.3 (5) Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
20.2.4 (6) Maximizing the Net Mechanical Work . . . . . . . . . . 457
20.3 Optimal Trajectories and Controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
20.3.1 Heat Engine Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
20.3.2 Optimized Engine Operation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
21 Optimization of Daniel Cam Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
21.2 Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
21.2.1 Daniel Cam Engine Representation. . . . . . . . . . . . . . . . 468
21.2.2 Mechanical and Thermal Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
21.2.3 Dimensionless Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
21.2.4 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
21.2.5 Numerical Procedure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
21.2.6 Model Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
21.3 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
21.3.1 Present Model Versus Simpler Approaches. . . . . . . . . . 478
21.3.2 Optimal Solution. Dependence on Design
and Operation Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
21.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Appendix 21A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Appendix 21B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Appendix 21C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
22 Photochemical Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.1 Engine Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.2 Engine Operation Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
22.3 Optimal Trajectories of the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
22.3.1 Maximizing the Work Produced . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
22.3.2 Minimizing the Entropy Production . . . . . . . . . . . . . . . 522
22.4 Results and Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Part VI Applications: Lubrication
23 Optimization of One Dimensional Slider Bearings . . . . . . . . . . . . . . 529
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
23.2 Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
23.3 Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
23.4 Optimum Design and Operation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
23.4.1 Direct Optimal Control Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
23.4.2 Constraints and Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
23.4.3 Design Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
23.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Appendix 23A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
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